Сумма квадратов последовательных натуральных чисел

Как бы такой формулы нет.

1^2+2^2+3^2+4^2+..+n^2
Как то так должна выглядеть мы с подругой уже весь инет перерыли.. не нашли

Плохо искали значит. Смотрите числа Бернулли. Конкретно для вашего примера:
1^2+2^2+3^2+4^2+..+n^2=(1/3)*n^3+(1/2)*n^2+(1/6)*n;